บน 25/04/2025 5,998

ทฤษฎีบทของ Demorgan อธิบาย: การทำให้การแสดงออกของตรรกะง่ายขึ้นเพื่อการออกแบบวงจรที่ดีขึ้น

คู่มือนี้อธิบายทฤษฎีบทของ Demorgan ซึ่งเป็นกฎสองข้อ แต่ทรงพลังในตรรกะกฎเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนหรือพลิกคำสั่งลอจิกเพื่อให้เข้าใจหรือทำงานได้ง่ายขึ้นในคู่มือนี้คุณจะได้เรียนรู้ว่าทฤษฎีบทเหล่านี้คืออะไรวิธีที่พวกเขาทำงานกับประตูตรรกะเช่นและหรือและไม่และวิธีการใช้วิธีที่เรียกว่าเทคนิค "การทำลายบาร์" เพื่อให้การแสดงออกของตรรกะที่ซับซ้อนง่ายขึ้นด้วยตัวอย่างที่ง่ายและเคล็ดลับทีละขั้นตอนคู่มือนี้ช่วยให้คุณใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan อย่างถูกวิธีเพื่อให้วงจรของคุณทำงานได้ดีขึ้นและเร็วขึ้น

แคตตาล็อก

ทฤษฎีบทของ Demorgan คืออะไร?

ทฤษฎีบทของ Demorgan เป็นกฎสำคัญสองประการในพีชคณิตบูลีนพีชคณิตบูลีนเป็นวิธีการทำงานกับตรรกะโดยใช้สิ่งต่าง ๆ เช่น "จริง" หรือ "เท็จ" หรือ 1 และ 0s ซึ่งมักใช้ในคอมพิวเตอร์ทฤษฎีบทเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Augustus de Morgan นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่อาศัยอยู่ในปี 1800เขาช่วยให้ผู้คนเข้าใจวิธีการเปลี่ยนแปลงและลดความซับซ้อนของการแสดงออกทางตรรกะกฎเหล่านี้บอกวิธีการพลิกหรือเปลี่ยนคำสั่งเชิงตรรกะด้วยวิธีที่ชาญฉลาดหากคุณใช้คำสั่งเชิงตรรกะและต้องการค้นหาสิ่งที่ตรงกันข้าม (หรือส่วนประกอบ) คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan เพื่อทำมันได้ง่ายขึ้นแนวคิดคือคุณสามารถสลับและเป็นหรือหรือหรือหรือและจากนั้นใส่ไม่ได้ ("ไม่" หรือ "ตรงข้าม") ในแต่ละส่วนของคำสั่งสิ่งนี้ทำให้เข้าใจหรือทำงานกับตรรกะที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น

แม้ว่าสิ่งนี้อาจฟังดูเป็นเพียงคณิตศาสตร์ แต่จริงๆแล้วมันมีประโยชน์มากในชีวิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์หลายคนใช้กฎเหล่านี้เมื่อพวกเขาออกแบบสิ่งต่าง ๆ เช่นวงจรซึ่งเป็นส่วนเล็ก ๆ ภายในคอมพิวเตอร์และอุปกรณ์อื่น ๆ ที่ทำให้ทุกอย่างทำงานได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan พวกเขาสามารถทำให้วงจรเดียวกันทำงานได้เหมือนกัน แต่มีส่วนน้อยลงสิ่งนี้จะช่วยให้วงจรทำงานได้เร็วขึ้นและใช้พลังงานน้อยลงเมื่อวงจรมีชิ้นส่วนน้อยลงมันก็จะถูกลงและเชื่อถือได้มากขึ้นนั่นหมายความว่ามีโอกาสน้อยที่จะทำลายหรือมีปัญหามันจะดีกว่าสำหรับสภาพแวดล้อมเช่นกันเพราะช่วยประหยัดพลังงานเนื่องจากมีประโยชน์มากหลายคนเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทเหล่านี้ในโรงเรียนเมื่อพวกเขาศึกษาตรรกะหรืออิเล็กทรอนิกส์

การทำความเข้าใจการเติมเต็มกลุ่ม

รูปที่ 2 ทฤษฎีบทของ Demorgan สำหรับการเสริมกลุ่ม

ในการใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan อย่างถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจว่าการเติมเต็มการทำงานอย่างไรโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนำไปใช้กับกลุ่มของตัวแปรการเติมเต็มตัวแปรเดียว (เช่นการกลายเป็น ′หรือā) เพียงแค่พลิกตรรกะของมัน: จริงกลายเป็นเท็จและเท็จกลายเป็นจริงแต่เมื่อส่วนประกอบครอบคลุมกลุ่มเช่น (AB) ′มันจะเปลี่ยนวิธีการประเมินการแสดงออกทั้งหมดใน (ab) ′คุณทำการดำเนินการและการดำเนินการระหว่าง A และ B ก่อนจากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์นั่นแตกต่างจาก A′B ′ซึ่งแต่ละตัวแปรจะถูกเติมเต็มก่อนการดำเนินการและความแตกต่างนี้สำคัญการรักษา (AB) ′และ A′B′ เหมือนกันอาจนำไปสู่พฤติกรรมวงจรที่ไม่ถูกต้องการทำความเข้าใจวิธีการที่จะใช้ส่วนประกอบช่วยให้มั่นใจได้ว่าตรรกะที่ตั้งใจไว้จะได้รับการเก็บรักษาไว้โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระหว่างการทำให้ง่ายขึ้นในช่วงวงจร

Logic Gates และทฤษฎีบทของ Demorgan ใช้อย่างไร

ประตูตรรกะเป็นส่วนพื้นฐานที่ใช้ในการสร้างระบบดิจิตอลเช่นคอมพิวเตอร์และอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์อื่น ๆเกตแต่ละประเภททำหน้าที่ง่าย ๆ ตามสิ่งที่เรียกว่าตรรกะบูลีนซึ่งเป็นคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งที่ใช้เพียงสองค่า: จริง (1) และเท็จ (0)

นี่คือประตูตรรกะที่พบบ่อยที่สุดสามประเภท:

- และประตู: ประตูนี้ให้เอาต์พุตที่แท้จริงเท่านั้นหากอินพุตทั้งหมดเป็นจริงหากแม้แต่อินพุตเดียวเป็นเท็จผลลัพธ์จะเป็นเท็จ

- หรือประตู : เกตนี้ให้เอาต์พุตที่แท้จริงหากอินพุตอย่างน้อยหนึ่งอินพุตเป็นจริงผลลัพธ์เป็นเท็จเฉพาะเมื่ออินพุตทั้งหมดเป็นเท็จ

- ไม่ใช่ประตู: ประตูนี้ใช้เพียงอินพุตเพียงครั้งเดียวและพลิกมันหากอินพุตเป็นจริงเอาต์พุตจะกลายเป็นเท็จและหากเป็นเท็จเอาต์พุตจะกลายเป็นจริง

ตอนนี้ทฤษฎีบทของ Demorgan เป็นกฎที่ช่วยให้เราเข้าใจว่าประตูแตกต่างกันอย่างไรกฎเหล่านี้มีประโยชน์มากเมื่อออกแบบวงจรดิจิตอลนี่คือวิธีการทำงานอัน ประตู NAND ก็เหมือนกับการดำเนินการและการดำเนินการก่อนแล้วจึงพลิกผลลัพธ์ (ไม่ใช่)แต่ตามทฤษฎีบทของ Demorgan นี่เป็นเช่นเดียวกับการรับอินพุตแต่ละครั้งพลิกพวกเขาก่อน (ไม่ใช่) จากนั้นใส่ลงในประตูหรือดังนั้นประตู NAND จะทำหน้าที่เหมือนกับหรือประตูที่มีการกลับรายการแต่ละครั้งอัน ไม่มีประตู ก็เหมือนกับการดำเนินการหรือการดำเนินการแล้วพลิกผลลัพธ์ (ไม่ใช่)นี่เป็นเช่นเดียวกับการใช้อินพุตแต่ละครั้งโดยพลิกก่อน (ไม่ใช่) จากนั้นใส่ลงในประตูและประตูดังนั้นประตู NOR ทำงานเหมือนกับและเกตกับแต่ละอินพุตกลับด้าน

กฎหลักสองประการของทฤษฎีบทของเดเมอร์แกน

ทฤษฎีบทของ Demorgan เป็นกฎสำคัญสองประการในตรรกะและอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ช่วยให้เราเขียนใหม่และทำให้คำสั่งเชิงตรรกะที่ซับซ้อนง่ายขึ้นกฎเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเราทำงานกับประตูตรรกะในวงจร

นี่คือสองกฎพื้นฐาน:

1. ตรงกันข้าม (หรือไม่) ของ A และ B นั้นเหมือนกับไม่ใช่ A หรือไม่ B:

(ab) ′= a′ + b ′

ซึ่งหมายความว่าหากคุณมีสถานการณ์ที่สองสิ่ง (A และ B) ทั้งคู่ต้องเกิดขึ้นและคุณต้องการสิ่งที่ตรงกันข้ามคุณสามารถพูดได้ว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นจะไม่เกิดขึ้น

2. ตรงกันข้าม (หรือไม่) ของ A หรือ B นั้นเหมือนกับไม่ใช่ A และไม่ใช่ B:

(a + b) ′= a′b′

ซึ่งหมายความว่าหากคุณกำลังพูดว่า A หรือ B อาจเกิดขึ้นได้และคุณต้องการสิ่งที่ตรงกันข้ามมันก็เหมือนกับการพูดว่าทั้ง A และ B จะไม่เกิดขึ้น

กฎเหล่านี้มีประโยชน์เพราะช่วยให้เราสร้างนิพจน์เชิงตรรกะได้ง่ายขึ้นแทนที่จะจัดการกับกลุ่มตัวแปรที่ไม่ได้ใช้กับกลุ่มตัวแปรเราสามารถเปลี่ยนเป็นนิพจน์ใหม่ที่เข้าใจหรือทำงานได้ง่ายขึ้นพวกเขาใช้กฎเหล่านี้เพื่อสร้างการออกแบบที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยลดจำนวนประตูตรรกะที่จำเป็นนั่นช่วยประหยัดเวลาพื้นที่และพลังงานที่สำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสิ่งต่าง ๆ เช่นชิปคอมพิวเตอร์และอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ขนาดเล็กดังนั้นในระยะสั้นทฤษฎีบทของ Demorgan ช่วยเปลี่ยนตรรกะที่ซับซ้อนให้กลายเป็นสิ่งที่ง่ายต่อการจัดการและใช้ในการออกแบบของคุณ

เทคนิคการทำลายบาร์

เทคนิคการทำลายบาร์เป็นวิธีที่ง่ายและเป็นภาพในการใช้ทฤษฎีบทของ Demorganในตรรกะดิจิตอลบางครั้งเราเห็นแถบ (เช่นบรรทัด) ที่เขียนขึ้นในนิพจน์ทั้งหมดแถบนี้หมายความว่าการแสดงออกทั้งหมดกำลังได้รับการเสริมหรือคว่ำ (ซึ่งก็เหมือนกับการพูดว่า "ไม่ใช่")เทคนิคการทำลายบาร์แสดงให้เราเห็นถึงวิธีการเขียนนิพจน์เหล่านี้ใหม่ด้วยวิธีที่ง่ายขึ้นโดย“ ทำลาย” แถบเป็นส่วนเล็ก ๆ

นี่คือวิธีการทำงาน: เมื่อคุณเห็นเส้นหรือแถบ (เรียกว่าแถบส่วนประกอบ) ผ่านกลุ่มของตัวแปรและการดำเนินการตรรกะคุณสามารถใช้กฎเพื่อเปลี่ยนนิพจน์หากแถบเติมเต็มและการดำเนินการ (ที่มีตัวแปรสองตัวเข้าด้วยกันเช่น AB) คุณจะเปลี่ยนและเป็นสัญลักษณ์หรือ (เพิ่มเติม) และคุณยังเปลี่ยนตัวแปรแต่ละตัวเป็นตรงกันข้ามหรือเติมเต็มตัวอย่างเช่น (ab) ′กลายเป็น′ + b ′เส้นเหนือ AB บอกให้เราทำสิ่งที่ตรงกันข้ามกับทั้ง A และ B และเปลี่ยนและเป็นหรือ

ในทางกลับกันถ้าแถบส่วนประกอบอยู่เหนือการทำงานหรือการทำงาน (ซึ่งมีการเพิ่มตัวแปรสองตัวเข้าด้วยกันเช่น A + B) แล้วคุณจะทำสิ่งที่ตรงกันข้ามคุณเปลี่ยนหรือเป็นและและเติมเต็มแต่ละตัวแปรดังนั้น (a + b) ′กลายเป็น a′b′

การทำให้ตรรกะบูลีนง่ายขึ้นด้วยทฤษฎีบทของ Demorgan

เมื่อทำให้การแสดงออกของบูลีนง่ายขึ้นการใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan สามารถลดความซับซ้อนได้อย่างมากมาดูนิพจน์ต่อไปนี้: (a + (bc) ′)′เพื่อให้ง่ายขึ้นทีละขั้นตอนเราเริ่มต้นด้วยการใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan กับส่วนประกอบภายนอกสิ่งนี้แปลงการแสดงออกเป็น A ′· (((BC)′) ′ต่อไปเราจะทำให้ส่วนประกอบสองเท่าของการยกเลิกง่ายขึ้นซึ่งทำให้เรามี ′· BCดังนั้นนิพจน์ที่ซับซ้อนดั้งเดิมทำให้ง่ายขึ้นอย่างประณีตถึง A′BC

การลดลงนี้ช่วยลดความซับซ้อนที่ไม่จำเป็นและเพิ่มประสิทธิภาพของวงจรรุ่นที่เรียบง่ายต้องการประตูตรรกะน้อยลงและช่วยให้การประมวลผลได้เร็วขึ้นซึ่งมีความสำคัญในระบบและอุปกรณ์ฝังตัวที่ประสิทธิภาพและพื้นที่มี จำกัดสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าการจัดกลุ่มที่ถูกต้องในการแสดงออกของบูลีนเป็นสิ่งจำเป็นการใช้วงเล็บและแถบเสริมจะกำหนดลำดับของการดำเนินการและหากใช้อย่างไม่ถูกต้องตรรกะของนิพจน์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่นพิจารณาความแตกต่างระหว่าง (AB) ′และ A′B′การแสดงออกครั้งแรก (AB) ′แสดงถึงส่วนประกอบของผลลัพธ์ของ A และ B ในทางตรงกันข้าม A′B′ หมายความว่า A และ B แต่ละอันจะได้รับการเสริมก่อนแล้วจึงรวมกันนิพจน์เหล่านี้ไม่เทียบเท่าและตีความผิดในระหว่างการทำให้เข้าใจง่ายสามารถนำไปสู่พฤติกรรมวงจรที่ผิดพลาดไม่ว่าคุณจะเขียนโปรแกรมการออกแบบฮาร์ดแวร์หรือระบบการดีบักการรักษาการจัดกลุ่มที่แม่นยำทำให้มั่นใจได้ว่าการแสดงออกของบูลีนจะทำงานได้ตามที่ตั้งใจไว้การให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดกับโครงสร้างเป็นสิ่งสำคัญเมื่อต้องรับมือกับตรรกะที่ซับซ้อนหรือซ้อนกัน

การจัดกลุ่มและการทำให้ง่ายขึ้นหลายครั้ง

ลองสร้างนิพจน์ ((a + b) ′ + c)′ เข้าใจง่ายขึ้นโดยการทำลายมันทีละขั้นตอนเราจะทำให้ส่วนภายในง่ายขึ้นก่อนจากนั้นใช้วิธีออกไปด้านนอกโดยใช้กฎตรรกะง่ายๆก่อนอื่นให้ดูที่ส่วน (A + B) ′ตามทฤษฎีบทของ Demorgan เมื่อคุณไม่ได้เพิ่มสองสิ่งเข้าด้วยกัน (A + B) มันจะเปลี่ยนเป็นไม่คูณโดยไม่ได้ของ B. ในคำอื่น ๆ (A + B) ′กลายเป็น A′B′ตอนนี้เราเสียบกลับเข้าไปในนิพจน์หลักดังนั้นแทนที่จะเป็น ((a + b) ′ + c)′ ตอนนี้เรามี (a′b ′ + c)′

ต่อไปเราใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan อีกครั้งกับนิพจน์ใหม่นี้เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้เมื่อคุณไม่ได้รับผลรวมคุณจะเปลี่ยนบวกเป็นการคูณและไม่ได้ใช้ในแต่ละส่วนดังนั้น (a′b ′ + c)′ กลายเป็น (a′b ′)′ · c ′ตอนนี้เราทำให้ง่ายขึ้น (a′b ′)′อีกครั้งโดยใช้ทฤษฎีบทของ Demorgan นี่เป็นเพียงการกลับไปที่รูปแบบดั้งเดิมดังนั้น (A′B ′)′ กลายเป็น + B ดังนั้นตอนนี้นิพจน์เต็มรูปแบบคือ (A + B) · C ′-

วิธีการทีละขั้นตอนนี้ช่วยให้แน่ใจว่าเราจะไม่ทำผิดพลาดใด ๆหากเราข้ามขั้นตอนหรือเปลี่ยนการจัดกลุ่มในทางที่ผิดมันสามารถนำไปสู่คำตอบที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถานการณ์ที่ตรรกะนี้ใช้ในระบบเช่นคอมพิวเตอร์หรือวงจร

บทสรุป

ทฤษฎีบทของ Demorgan ทำให้เข้าใจและแก้ไขตรรกะที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้นโดยการเรียนรู้วิธีพลิกและเป็น ORS (และในทางกลับกัน) และใช้ไม่ถูกต้องคุณสามารถเปลี่ยนคำสั่งตรรกะที่ยุ่งเหยิงให้กลายเป็นสิ่งที่เรียบง่ายและมีประโยชน์สิ่งนี้จะช่วยเมื่อสร้างชิ้นส่วนคอมพิวเตอร์หรือระบบอิเล็กทรอนิกส์เนื่องจากตรรกะที่ง่ายกว่าหมายถึงชิ้นส่วนที่น้อยลงการใช้พลังงานน้อยลงและความผิดพลาดน้อยลงการใช้ขั้นตอนและเคล็ดลับจากคู่มือนี้คุณสามารถทำงานกับตรรกะและการออกแบบที่ดีขึ้นอย่างมั่นใจ